Modelos matemáticos: una manera de entender el universo y lo humano

Modelos matemáticos: una manera de entender el universo y lo humano
En la Academia Mexicana de Ciencias

Los modelos matemáticos permiten entender sistemas, como pueden ser un fenómeno social o natural, por ejemplo, los cuales responden a una pregunta específica y pueden brindar información cuantitativa o responder a preguntas cualitativas de interés teórico.

En este sentido, el trabajo de un matemático en la construcción de un modelo consiste en delimitar el sistema (lo que se quiere modelar) e identificar los elementos representativos, esto de acuerdo con las preguntas que se quieren responder y que generalmente son extra-matemáticas porque las pueden plantear ya sea un ingeniero, un científico natural o un científico social.

Después de la interacción del matemático con el especialista, el primero puede comenzar a buscar una representación abstracta del sistema de interés, que incluya sus características representativas con respecto a las preguntas que se plantearon.

Lo anterior formó parte de la conferencia “La naturaleza y los modelos matemáticos”, brindada por el doctor Edgardo Ugalde, investigador del Instituto de Física de la Universidad Autónoma de San Luis Potosí, durante el Segundo Encuentro de Ciencia y Humanismo organizado por la Academia Mexicana de Ciencias Sección Centro en Morelia, Michoacán.

Dependiendo del fenómeno de estudio, un modelo matemático puede ser predictivo cuando incluye la mayor cantidad de aspectos del fenómeno que se quiere modelar, tal es el caso de los modelos que se utilizan en estudios de predicción del clima, éstos se basan en ecuaciones de dinámica de fluidos y su solución requiere gran capacidad de cómputo y esquemas ingeniosos de integración numérica; cabe destacar que estos modelos sólo permiten hacer predicciones a corto plazo.

Otro tipo de modelos son los que están formulados para responder a preguntas teóricas sobre el fenómeno de estudio, tal como sucedió con el modelo simplificado del clima que propuso el climatólogo Edward Lorenz, quien buscaba responder a la pregunta: ¿Tiene el clima una periodicidad dominante?

Edward Lorenz se dedicaba a estudiar el comportamiento de la atmósfera y trataba de encontrar un conjunto de ecuaciones que permitieran predecir, a partir de variables sencillas y mediante simulaciones de ordenador, el comportamiento de grandes masas de aire para hacer predicciones climatológicas.

Sin embargo, observó que una pequeña perturbación o error en las condiciones iniciales del sistema, puede tener influencia sobre el resultado final, fenómeno que se conoce como “efecto mariposa” (que se refiere a la amplificación de errores que pueden aparecer en el comportamiento de un sistema complejo), por lo cual no es posible predecir el clima para un período extenso de tiempo. A este segundo tipo de modelos, que sirven para responder a preguntas teóricas, se les llama explicativos.

Sistemas dinámicos

El estudio de los sistemas dinámicos, que aparecen en la química, la biología, la física o en la economía, hace posible entender cómo el estado de un sistema evoluciona con el tiempo. Un sistema dinámico es cualquier modelo constituido por un espacio de configuraciones con una regla de orden secuencial que modela el paso del tiempo; las configuraciones pueden ser definidas como la información necesaria que permite obtener un determinado dato del sistema que se estudia.

“Los modelos climáticos o los modelos del sistema solar son ejemplos de sistemas dinámicos. En el primero las configuraciones son distribuciones de temperatura, presión y humedad en el globo terráqueo en un momento dado; para el segundo caso las configuraciones están dadas por las posiciones y velocidades de los planetas en un tiempo determinado”, dijo el integrante de la Academia Mexicana de Ciencias, que tiene entre sus líneas de estudio la teoría de los sistemas dinámicos y sus aplicaciones en física y biología.

Una forma de estudiar un sistema dinámico complejo es considerar conjuntos muy grandes de configuraciones y responder preguntas sobre la probabilidad de que algo suceda a lo largo del tiempo, que es el caso de los modelos climáticos, donde el sistema es tan complicado que no se puede asegurar que algo vaya a suceder, solo se puede estimar la probabilidad de que algo suceda; a esto se le conoce como las propiedades estadísticas de un sistema dinámico.

Otras de las propiedades de este tipo de sistemas se conocen como topológicas, las cuales permiten distinguir entre sistemas cuyo comportamiento es regular y los que presentan un comportamiento irregular o incluso caótico. Un sistema regular es el formado por dos cuerpos puntuales que se atraen gravitacionalmente, en cambio, el llamado péndulo doble, es un sistema irregular en el que las configuraciones inicialmente cercanas se van alejando hasta no parecerse en nada.

Actualmente, el investigador se dedica a caracterizar los posibles comportamientos dinámicos de un modelo que está relacionado con otro, que en biología se utiliza para modelar la regulación genética. También estudia los modelos de secuencias de símbolos, que están relacionados con la teoría de la información.

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